关于数学期望的研究

最近在数学课上正式学习了数学期望，却发现OI期望题还是不会做…
看来OI中的数学和真正的数学还是有一定差距的…
学习过程中想到了各种奇葩的问题，有了一些心得体会。

七选五的期望得分

这个是和@nooblesone聊天的时候想到的问题：
@nooblesone英语极差，因此基本靠蒙，然后算一下他的期望的分吧…
嗯，听力，$20\over 3$分，阅读，10分，七选五……这个好像有点难算啊…
光是分布列就不好列出来…
算了，编程解决怎么样？
于是乎，我就写了一下暴搜程序：(这个程序写的是N选M，每选对一个得num分，七选五的话输入就是7 5 2)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,vis[101],ans[101],pas[101],num=1;
long long score=0;
void search(int pos,int scr)
{
    if(pos>m)
    {
        score+=scr;
        //for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d",ans[i]);
        //printf(" %d\n",scr);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i])continue;
        vis[i]=1;ans[pos]=i;
        if(pas[pos]==i)search(pos+1,scr+num);
        else search(pos+1,scr);
        vis[i]=0;
    }
}
int main()
{
    //freopen("qqq.out","w",stdout);
    printf("请依次输入选项总数，答案数以及每个题目的分值，用空格隔开\n");
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&num);
    for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0,pas[i]=i;
    double k=1;
    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)k*=i;
    printf("总共有%lld种不同的答案。\n",(long long)k);
    search(1,0);
    k=score/k;
    printf("期望得分：%lf分",k);
    return 0;
} 

算出来是$10\over 7$分，怎么感觉是$\frac{1}{7}\times 5 \times 2 $呢（每题选对概率*题数*分数）？
感觉选项会互相影响，不可能这么算啊，后来问了一下亲爱的班主任+数学老师彪哥，他也说这应该是碰准了。但是之前和@GH讨论过这个问题，他就是这么算的，但是当时他自己也说不清楚为什么可以这么算。
我突然想起来，在我的程序写的不对的时候，曾经在网上搜过七选五的期望得分，还真搜到了一篇，而且里面也说是$10\over 7$，但当时我的程序出锅了，于是乎就认为他的是错的，就没仔细看，现在贴出链接：http://blog.sina.com.cn/s/blog_a661ecd501013glc.html
并引用其中原句来解释：
其实一句话就说完了：期望的和等于和的期望。显然（如果看着自己选的ABCDE，认为答案是随机的话）每道小题选对的概率都是1/7，加起来就是对了5/7小题，平均就是5/7分，不管5小题的得分是如何相关的。不过，我偶然在别的地方找到了一个通俗的解释方法（上面那句话没准会使人头疼半天吧，包括我）。
假如我决定了按顺序选ABCDE，然后老师拿来2520道七选五的题（天哪），恰好包含了答案的所有情况，我把所有卷子答上了ABCDE之后交了卷。老师统计一下我总共得了多少分，除以2520，就是所求的平均得分了。接下来换个角度看问题：2520种标准答案中有多少个是第一题选A的？显然是2520的1/7，这就是我第一个小题的总得分；其余小题同理。于是我的总得分就是2520的5/7，所求的平均得分当然是5/7。
想了一下，果然是这样！！！
这个故事告诉我们，不要让学过的知识禁锢住你的思想，说白了就是学期望学傻了…
（感觉中式教育让我们思想僵化了）

其他用期望做很麻烦的例子

比如下面这个问题：
将边长为5的大正方体表面图上颜色，然后切成体积为1的小正方体，随机取一个小正方体，问这个小正方体期望有多少个面涂上了色。
这个问题如果用传统的期望来做，就需要:
解:
记$X$为1个正方体涂上颜色的面的个数.
则0个面涂上色的概率:
$P(X==0)={3\times 3\times 3\over 125}={27\over 125}$
1个面涂上色的概率：
$P(X==1)={3\times 3\times 6\over 125}={54\over 125}$
2个面涂上色的概率：
$P(X==2)={12\times 3\over 125}={36\over 125}$
3个面涂上色的概率：
$P(X==3)={8\over 125}$.
所以，期望值为：
$E(X)=P(X==1)\times 1+P(X==2)\times 2+P(X==3)\times 3=1.2$
好麻烦啊…不过还是求出来了。
现在我们考虑不用期望的定义来求。
和上面的例子一样，1个正方体涂上色的面数的期望，其实就是平均一个正方体涂上色的面数（其实期望的定义就是平均数）
那么我们用涂上色的面数$\div$正方体总个数，就是答案，即：
$E(X)={6\times 5\times 5\over 125}=1.2$
比传统的期望方法简单好多啊~

又一个例子

爱因斯坦提出了广义相对论，于是乎证明了经典力学是错误的。但是为什么我们还要学经典力学呢？直接都用相对论来计算不应该才最准确吗？
原因是相对论计算十分复杂，在经典力学适用的范围内，使用经典力学的计算方法要比相对论方法简单得多，所以我们依然要学习经典力学。感觉和期望的例子差不多…（想想又不太对…）

结论

不要让学过的知识禁锢住你的思想，要学会选择最适合的方法去解决问题。