高等数学复习

极限与连续 $(15%)$

一元函数微分学 $(35%)$

一元函数积分学 $(35%)$

1. 常用技巧
   • 令 $I(n)=\int_0^{\pi\over 2}sin^n x$，则 $I(n)={n-1\over n}I(n-2)$
   • 令 $\Gamma(n+1)=\int_0^{+\infty}x^{n}e^{-x}dx$
     则 $\Gamma (n+1)=n\cdot\Gamma(n)\ \Gamma(n+1)=n! \ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt\pi$
   • $\int_a^b{1\over (x-a)^q}dx$，当 $q<1$ 时收敛，$q\ge1$ 时发散；
     $\int _1^{+\infty}{1\over x^p}dx$，当 $p>1$ 时收敛，$p\le 1$ 时发散。
   • $\sqrt {a^2-x^2}\overset{x=a\sin t}{====}a\cos t$
     $\sqrt {x^2-a^2}\overset{x=a\sec t}{====}a\tan t$
     $\sqrt {a^2+x^2}\overset{x=a\tan t}{====}a\sec t$
     $\sqrt{ax+b}\overset{x=\sqrt{ax+b}}{====}t$
2. 积分公式
   $$
   \begin{aligned}
   &\int \sec^2 x\mathrm{dx}=\tan x+C &
   &\int \csc^2 x\mathrm{dx}=-\cot x+C \
   &\int \sec x\mathrm{dx}=\ln\left|\sec x+\tan x\right|+C &
   &\int \csc x\mathrm{dx}=\ln\left|\csc x-\cot x\right|+C \
   &\int \tan x \mathrm{dx}=-\ln\left|\cos x\right|+C&
   &\int \cot x \mathrm{dx}=-\ln\left|\sin x\right|+C\
   &\int \sec x\tan x\mathrm{dx}=\sec x+C &
   &\int \csc x\cot x\mathrm{dx}=-\csc x+C \
   &\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a} +C&
   &\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{a^2\pm x^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C\
   &\color{red}{\int \frac{\mathrm{dx}}NaN=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C}&
   &\color{red}{\int \frac{\mathrm{dx}}NaN=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C} \
   \end{aligned}
   $$

微分方程 $(15%)$

1. 一阶微分方程

   • $y’+P(x)y=Q(x)$，求通解.
     公式：$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]$
   • 可将 $xdx,ydy$ 拆到等号两边的题目，求通解。（以 $y’={2x\over y}$ 为例）
     将 $y’$ 变为 $\frac{dy}{dx}$ ，即 $\frac{dy}{dx}={2x\over y}$
     移项得： $ydy=2xdx$
     对等号两边同时积分：$\int ydy=\int 2xdx$
     即：${1\over 2}y^2+C_1=x^2+C_2$
     解得：$y=\pm\sqrt{2x^2+C}$
   • 有符合部分（${y\over x}$）的题目，求通解。（以 $y’={y\over x}+{1\over \sin{y\over x}}$ 为例）
     设部分为$u$ ：$u={y\over x}\Rightarrow y=ux$
     令$y’=u+x\cdot {du\over dx}$ ，代入得：
     $$
     \begin{aligned}
     u+x{du\over dx}&=u+{1\over \sin u}\
     x{du\over dx}&={1\over \sin u}\
     \sin u du &= {dx\over x}\
     \int \sin u du &= \int {1\over x}dx\
     -\cos u+C_1&=\ln |x| +C_2\
     u&=\arccos{(-\ln |x|+C)}\
     y&=x\arccos{(-\ln |x|+C)}\
     \end{aligned}
     $$

2. 高阶线性微分方程

   • 含 $y,y’,y’’,\cdots$ ，不含 $x$ 的题目，求通解。（ $n$ 阶常系数线性齐次方程）

     特征方程的根	通解
     单实根$\alpha$	$C\cdot e^{\alpha x}$
     一对单复根$\alpha\pm \beta i$	$e^{\alpha x}(C_1 \cos {\beta x}+C_2 \sin {\beta x})$
     $k$重实根$\alpha$	$e^{\alpha x}(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})$
     一对$k$重复根$\alpha\pm \beta i$	$e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos {\beta x}+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin {\beta x}]$

   • 含 $y,y’,y’’,\cdots$ ，也含 $x$ 的题目（且 $f(x)=(x^m+x^{m-1}+\cdots)e^{\lambda x}$），求通解。（ $n$ 阶常系数线性非齐次方程）
     将 $x$ 项改为 $0$ ，求这个式子的通解 $\overline y$
     将 $x$ 项化成 $x^me^{\lambda x}$ 的形式，求出 $m,\lambda$（直接和 $x$ 项比较，比如 $y’’’+2y’’+y’=e^x$ 就是 $m=0,\lambda=1$）
     根据 $\lambda$ 的值决定 $k$ 的值：

     $\lambda$ 不是特征方程的根	$k=0$
     $\lambda$ 是特征方程的单根	$k=1$
     $\lambda$ 是特征方程的复根	$k=2$

     将 $m,\lambda,k$ 的值代入：
     $y^*=x^k(b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m x^0)e^{\lambda x}$
     将 $y^*$ 代入微分方程，求出 $b$
     通解为：$y=\overline y+y^*$

     注：有时 $x$ 不止一项（比如 $y’’’+2y’’+y’=e^x+2x$），则对不同的含 $x$ 的项均求 $y^*$ ，然后和 $\overline y$ 加起来即可。

   • 含 $y,y’,y’’$ ，也含 $x$ 的题目（且 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos{\omega x}+P_n(x)\sin{\omega x}]$，$P_n(x)$ 为 $n$ 次多项式），求通解。（ 二阶常系数线性非齐次方程）
     $y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos{\omega x}+R_m^{(2)}(x)\sin{\omega x}]$ ，$m=\max{(l,n)}$ ，当 $\lambda \pm i\omega$ 是特征方程的根时，取 $k=1$，否则 $k=0$.