信号与系统复习

信号与系统(B) 复习

* 为往年考试重点,但非重修重点,+ 为重修重点,但非往年考试重点。更新于 6 月 18 日重修考试前。

第 1 章 信号与系统的基本概念

  • 重点:

    1. + 周期信号的周期如何求取?
      将信号每一部分的周期写出,求最小公倍数。
      例:$T_1 = {2\pi\over 3\sqrt2},T_2 = {2\pi\over 6\sqrt2}$,则周期为 $\gcd(T_1,T_2) = {2\pi\over 3\sqrt2}$。

    2. 信号的分类:能量信号、功率信号、非能量非功率信号判断
      能量信号:$E=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}\left|f(t)\right|^2\mathrm dt$ 为有限值。(离散:$E=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=-N}^{N}\left|f(k)\right|^2$)
      功率信号:$P=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}{1\over 2T}\int_{-T}^{T}\left|f(t)\right|^2\mathrm dt$ 为有限值。(离散:$P=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}{1\over 2N+1}\sum\limits_{k=-N}^{N}\left|f(k)\right|^2$)
      如果 $P,E$ 均为 $\infty$ ,则该信号既非功率信号,又非功率信号。
      注:

      • $\left|e^{\mathrm j(\omega t+\theta)}\right|=1$ 这里绝对值是取复数的模

      • 对于不同功率的正弦信号,其平均功率可以叠加

    3. * 系统的线性和时不变性判断

      • 线性系统:(一定要注意题目中的 $t\ge 0$ !)
        需要满足以下三点条件:

        1. 可分解性:系统响应 $y(t)/y(k)$ 可分解为零输入响应 $y_{zi}(t)/y_{zi}(k)$ 和零状态响应 $y_{zs}(t)/y_{zs}(k)$
        2. 零状态响应线性:设 $x_1(t),x_2(t)$ 单独激励时引起的零状态响应为 $y_{1zs},y_{2zs}$ ,则 $y_{1zs},y_{2zs}=\cdots$[套公式].当激励$x_a(t)=k_1x_1(t)+k_2x_2(t)$ 时, $y_{azs}=\cdots$[套公式] ,而 $k_1y_{1zs}+k_2y_{2zs}=\cdots$ ,比较得到线性/线性。
        3. 零输入响应线性:将激励 $x_{1/2/a}(t)$ 换成初始状态 $q_{1/2/a}(0)$ 即可。

        注:方程只有一次项为线性,出现常数项为非线性。

      • 时不变系统

        若 $x(t)\rightarrow y(t)$,则 $x(t-t_d)\rightarrow y(t-t_d)$ ,为时不变系统。
        判断方式:当激励 $x(t)=x(t-t_d)$ 时, $y(t)=\cdots$[替换掉公式中的$x(t)$] ,而 $y(t-t_d)=\cdots$,比较得结果。
        注:只要 $x(t)$ 的系数不是常数则一定是时变系统,但对自变量 $t$ 或者 $x(t)$ 加减乘除常数就是时不变系统。

第 2 章 连续时间信号与系统的时域分析

  • 重点:

    1. 冲激函数的加权性、 筛选性
      筛选性:$f(t)\cdot \delta (t-t_0)=f(t_0)\cdot \delta(t-t_0)$
      加权性:$f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)$
      * 取样性:$\int_a^b f(t)\cdot \delta(t-t_0)=\begin{cases}f(t_0),&t_0\in (a,b)\\0,&t_0\notin(a,b) \end{cases}$
    2. 单位冲激函数的尺度变换性质
      $\delta(at)=\frac1{\lvert a \rvert}\delta(t)$ 和 $\delta(at-t_0)=\frac 1 {\lvert a \rvert}\delta(t-\frac {t_0}a)$,其中 $a,t_0$ 为常数且 $a\neq 0$
    3. 阶跃响应和冲激响应之间的关系
      单位阶跃函数的导数是单位冲激函数:$\frac {\mathrm du(t)}{\mathrm dt}=\delta(t)$
      另外,$\int_{-\infty}^t \delta(\tau)\mathrm d\tau = \left{ \begin{array}{}1&t>0\\0&t<0\end{array}\right}=u(t)$
      冲激响应是阶跃响应的导数:she
    4. 利用卷积的微积分性计算和画图
      • 卷积的计算:$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{t_1}^{t-t_2} f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm d\tau\cdot u(t-t_1-t_2)$
        (其中,$x(t)=f_1(t)u(t-t_1),h(t)=f_2(t)u(t-t_2)$,若 $x(t)/h(t)$ 为无始函数,可表示为:$x(t)=f_1(t)u(t+\infty)/h(t)=f_2(t)u(t+\infty)$ )
      • 微分性质:如果 $y(t)=x(t)*h(t)$,则有 $y’(t)=x(t)*h’(t)=x’(t)*h(t)$
      • 积分性质:$y^{(-1)}(t)=x(t)*h^{(-1)}(t) = x^{-1}(t)*h(t)$($-1$ 次方是求积分)
  • 补充:

    1. 卷积的性质
      卷积具有交换律、分配律、结合律
      $x(t-t_1)*\delta(t-t_2)=x(t-t_1-t_2)$
      $x(t)*\delta^{(n)}(t-t_1)=x^{(n)}(t)*\delta(t-t_1)=x^{(n)}(t-t_1)$
      区分:$\begin{cases}u(k)*u(k)=(k+1)u(k)\\u(t)*u(t)=tu(t)\end{cases}$
      平移特性:$f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)$
      做题常用结论:$tu(t)*u(t)={1\over 2}t^2u(t)$,$u(t+1)*u(t-2)=(t-1)u(t-1)$
  • + 例题:

    • 习题 2.6 图(a)(3)画出 $f(-\frac t 2 +1)$ 的波形(4)画出 $\frac{\mathrm df(t)}{\mathrm dt}$ 的波形
      (3)$f(-\frac t2+1)=f\left [-\frac12(t-2)\right]$,故图像先左右翻转并扩大到 2 倍,然后向右移 2 。
      (4)$\frac{\mathrm df(t)}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d[2u(t+2)-4u(t-2)+2u(t-4)]}{\mathrm dt}=2\delta(t+2)-4\delta(t-2)+2\delta(t-4)$
    • 习题 2.7(3)化简 $sin(\frac \pi 2t)\delta(3t-1)$
      $\sin(\frac \pi 2t)\cdot \frac13\cdot \delta(t-\frac13)=\sin(\frac \pi2t)\rvert_{t=\frac13} \cdot \frac13\cdot \delta(t-\frac13)=\sin \frac \pi 6 \cdot \frac13\cdot \delta(t-\frac13)=\frac 12\cdot \frac13\cdot \delta(t-\frac13)=\frac 16\delta(t-\frac 13)$

      * 第 3 章 离散时间信号与系统的时域分析

  • 重点:

    1. 离散卷积
      计算:$y(k)=x(k)*h(k)=\sum\limits_{n\rightarrow -\infty}^\infty x(n)h(k-n)$
      性质:
      • $f(k-k_1)*\delta(k-k_2)=f(k-k_1-k_2)$
      • $u(k-k_1)*u(k-k_2)=(k-k_1-k_2+1)u(k-k_1-k_2)$
    2. 不进位乘法
      1. 将 $x(k)$ 的值作为行,$h(k)$ 的值作为列,列表
      2. 对应行列上的数相乘,填表
      3. 画斜对角线(从右向左斜)
      4. 计算出每条斜对角线上的和
      5. 写出结果,并标出零点所在行列找到相交位置所在的斜对角线,作为结果的零点

第 4 章 连续时间信号与系统的频域分析

  • 重点:

    1. + 画频谱(纵坐标 $\sim$ 横坐标)

      • 单边频谱:$f(t)\leftrightarrow A_n,\varphi_n$

        • 单边幅度频谱($A_n\sim n\omega_0$)
        • 单边相位频谱($\varphi_n\sim n\omega_0$)
      • 双边频谱:$f(t)\leftrightarrow F_n$

        • 双边幅度频谱($\lvert F_n\rvert\sim n\omega_0$)

        • 双边相位频谱($\theta_n\sim n\omega_0$)

      • 需要用到的公式:

        1. 欧拉公式:$\sin n\omega_0t=\frac1{2j}(e^{jn\omega_0t}-e^{-jn\omega_0t}),\cos n\omega_0t=\frac1{2}(e^{jn\omega_0t}-e^{-jn\omega_0t})$

        2. 三角形式傅里叶级数:$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(n\omega_nt+\varphi_n)$

        3. 指数形式傅里叶级数:$f(t)=F_0+\sum_{n=1}^{\infty}F_n e^{jnw_0t}+\sum_{n=-1}^{-\infty}F_n e^{jnw_0t}$

      • 解题步骤:

        • 一般给的是三角形式,将式子中的 $\sin$ 化为 $\cos$ ,写成公式 2 的标准形式,且振幅 $A_n\ge 0$
        • 根据公式 2 的标准形式画单边频谱
        • 将公式 1 的 $cos$ 公式带入公式 2,化成公式 3 的形式(其实并不用)
        • 根据 $F_0=A_0,\lvert F_n\rvert=\frac{A_n}2(n\neq0)$ 来画双边幅度谱
        • 根据 $\theta_{+n}=\varphi_n,\theta_{-n}=-\varphi_{n}$ 来画双边相位谱
    2. 时域信号的奇偶对称性与其频谱的奇偶对称性之间的关系
      当 $f(t)$ 是实信号时,双边幅度频谱 $|F_n|$ 是 $n\omega_0$ 的偶函数,双边相位频谱图 $\theta_n$ 是 $n\omega_0$ 的奇函数。

    3. 画功率谱图
      信号功率:$P=F_0^2 + 2\sum_{n=1}^\infty \lvert F_n\rvert^2=A_0^2+\sum_{n=1}^\infty \frac{A_n^2}2$
      $|F_n|^2$ 随 $n\omega_0$ 变化的图形称为周期信号的功率谱,然后画图即可。

    4. 求函数的傅里叶变换 对称性
      傅里叶变换:$F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt$
      傅里叶逆变换:$f(t)={1\over 2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega$
      常用函数的傅里叶变换:

      • 门函数 $A\cdot g_\tau(t)\leftrightarrow A\tau \mathrm{Sa}({\omega \tau\over 2})$ ($\mathrm {Sa}(x)=\frac{\sin x}x$)
      • 抽样函数:$A\tau Sa(\frac{\tau t}2)\leftrightarrow 2\pi Ag_\tau(\omega)=\begin{cases}2\pi A&\lvert\omega\rvert<\frac\tau2\\ 0&\lvert\omega\rvert>\frac\tau2\end{cases}$
      • 单边实指数衰减信号 $e^{-\alpha t}u(t)(\alpha>0)\leftrightarrow {1\over \alpha+\mathrm j\omega}$
      • 双边实指数衰减信号 $e^{-\alpha|t|}u(t)(\alpha>0)\leftrightarrow {2\over \alpha^2+\omega^2}$
      • 单位冲激信号 $\delta(t)\leftrightarrow 1$
      • 直流信号 ${1\over 2\pi}\leftrightarrow \delta(\omega)$
      • 符号函数 $\mathrm{sgn}(t)\leftrightarrow {2\over \mathrm j\omega}$

      傅里叶变换的性质:

      • 对称性:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$

      • 线性:若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(\omega),f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega)$ ,对于任意常数 $a_1,a_2$ ,有 $a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\leftrightarrow a_1F_1(\omega)+a_2F_2(\omega)$

      • 尺度变换特性(比例性):若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,对于任意非零实常数 $a$ ,有 $f(at)\leftrightarrow {1\over |a|}F(\frac{\omega}{a})$

      • 时移特性:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,有 $f(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}F(\omega),t$ 为常数

      • 频移性(调制定理):若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega),\omega_0$ 为常数,则:$ f(t)e^{\mathrm j\omega_0 t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) $(见 5.)

      • 卷积定理:若 $f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega),f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega)$ ,则时域卷积定理有: $ {f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)} $;

        频域卷积定理有: $ {f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow {1\over 2\pi}F_1(\omega)* F_2(\omega)} $

      • 实域微分和积分:见4.

    • 频域微分和积分:
      1. 频域微分性质:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $(-\mathrm jt)f(t)\leftrightarrow \frac{\mathrm dF(\omega)}{\mathrm d\omega}$,更实用的形式:$\textcolor{red}{tf(t)\leftrightarrow \mathrm j\frac{\mathrm dF(\omega)}{\mathrm d\omega}}$(,$t^nf(t)\leftrightarrow \mathrm j^n\frac{\mathrm d^nF(\omega)}{\mathrm d\omega^n}$)
      2. 频域积分性质:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $\pi f(0)\delta(t)+\frac{f(t)}{-\mathrm jt}\leftrightarrow \int_{-\infty}^\omega F(\Omega)\mathrm d\Omega$
    1. 微分冲激法

      • 实域微分性质:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $\frac{\mathrm df(t)}{\mathrm dt}\leftrightarrow \mathrm j\omega F(\omega)$
      • 实域积分性质:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $\int_{-\infty}^t f(\lambda)\mathrm d\lambda \leftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{\mathrm j\omega} F(\omega)$
      • 微分冲击法:当 $\lim\limits_{|t|\rightarrow \infty}f(t)$ 为常数时,其频谱 $F(\omega)$ 不易求得,设 $f{\color{red}’}(t)=g(t)\leftrightarrow G(\omega)$ ,则 $F(\omega)=\frac{G(\omega)}{\mathrm j\omega}+\pi[f(\infty)+f(-\infty)]\delta(\omega)$
    2. 调制定理
      定义:把信号搬移到不同的频段来实现频分多路通信。(频分复用)
      $f(t)\cos \omega_0t\leftrightarrow {1\over 2}[F(\omega+\omega_0)+F(\omega-\omega_0)]$
      $f(t)\sin \omega_0t\leftrightarrow {\mathrm j\over 2}[F(\omega+\omega_0)-F(\omega-\omega_0)]$

    3. 奈奎斯特取样率
      取样定理(抽样定理):利用连续信号在等时间间隔上的瞬移值来表示和恢复原信号,实现时分复用。也就是连续信号与离散信号之间相互转换的理论依据。(似乎没啥用)
      取样信号 $f_s(t)=f(t)\cdot s(t)$ ( $s(t)$ 为取样脉冲序列,也叫开关函数)
      取样定理的条件:

      1. $f(t)$ 必须为频带有限信号(带限信号),即在 $|\omega|>\omega_m$ 时,其频谱 $F(\omega) =0$
      2. 取样率不能过低,必须满足 $f_s\ge 2f_m$

      定义 $f_{smin}=2f_m$ 为奈奎斯特取样率。(注:$f={\omega\over 2\pi}$)
      $f(\alpha t)\leftrightarrow {1\over \alpha}F({\omega\over\alpha})$ 的带宽为 $f(t)$ 的 $\alpha$ 倍。
      时域中两个信号相乘,所得信号带宽为原来两个信号的带宽之和;时域中两个信号相加,所得信号的带宽为原来两个信号中带宽大的那个信号的带宽;时域卷积对应于频域相乘,带宽应取小的。

    4. 滤波器
      一共四种,理想低通滤波器(只保留中间某个范围内的,比如 $Ag_\tau(\omega)$ 保留 $[-\tau,\tau]$ 且扩大增加 $A$ 倍),理想高通滤波器(去掉中间,保留两边),理想带通滤波器(保留两个对称的矩形波内的,比如习题 4-24),理想带阻滤波器(去掉两个对称的矩形波内的,保留其他部分)。
      一般会给图像或者给你函数让你做判断,一般带 $Sa$ 的就是带通,带 $g$ 的就是低通。

  • 例题

    • 习题 4-3 周期信号 $f(t)=2+6\cos(\omega_0t+\frac \pi 6)+4\sin(2\omega_0t+\frac \pi 3)+2\cos(3\omega_0t+\frac \pi 6)$,试分别画出该信号的单边、双边幅度谱和相位频谱图。
      $f(t)=2+6\cos(\omega_0t+\frac \pi 6)+4\cos(2\omega_0t-\frac \pi 6)+2\cos(3\omega_0t+\frac \pi 6)$

    • 习题 4-8 已知 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$,求下列函数的傅里叶变换。

      • (4)$(t-3)f(2-t)$
        $原式=tf(2-t)-3f(2-t)$
        由 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ 得 $f(-t)\leftrightarrow F(-\omega)$,故 $f(2-t)=f[-(t-2)]\leftrightarrow F(-\omega)e^{-j2\omega}$,故 $tf(2-t)\leftrightarrow j\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega} [F(-\omega)e^{-j2\omega}]=2F(-\omega)e^{-j2\omega}+j\frac{\mathrm d F(-\omega)}{\mathrm d\omega}e^{-j2\omega} $
        故 $(t-3)f(2-t)\leftrightarrow -F(-\omega)e^{-j2\omega}-j\frac{\mathrm d F(-\omega)}{\mathrm d\omega}e^{-j2\omega}$
      • (6)$(t-2)f(\frac t2)$
        $原式=tf\frac t2)-2f(\frac t2)$
        由 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ 得 $f(\frac t2)\leftrightarrow 2F(2\omega)$,故 $tf(\frac t2)\leftrightarrow j2\frac{\mathrm d F(2\omega)}{\mathrm d\omega} $
        故 $(t-2)f(\frac t2)\leftrightarrow j2\frac{\mathrm d F(2\omega)}{\mathrm d\omega} - 4F(2\omega)$
    • 习题 4-17 确定下列信号的奈奎斯特取样率(参考公式:$\textcolor{red}{\tau Sa(\frac{t\tau}2)\leftrightarrow 2\pi g_\tau(\omega)}$)

      • (3)$Sa(100t)*Sa(200t)$
        由参考公式得:对于 $Sa(100t)$,$\omega_m=\frac\tau2 = 100rad/s$,故 $\omega_s=2\omega_m=200rad/s$;同理对于 $Sa(200t)$,$\omega_s=400rad/s$。

        因为时域卷积对应于频域相乘,带宽应取小的,所以 $\omega_s=\min(200,400)=200rad/s$。

      • (5)$Sa(100t)+Sa^2(60t)$
        由参考公式得:对于 $Sa(100t)$,$\omega_m=\frac\tau2 = 100rad/s$,故 $\omega_s=2\omega_m=200rad/s$;对于 $Sa^2(60t)$,由时域中两个信号相乘,所得信号的带宽为原来两个信号的带宽之和,可得:$\omega_s=2\omega_m=2\times (60+60)=240rad/s$。
        时域中两个信号相加,所得信号的带宽应为原来两个信号中带宽大的那个信号的带宽,可得 $\omega_s=\max(200,240)=240rad/s$。

    • 习题 4-24 在题图 4-9(a)所示系统中,带通滤波器的频率特性如题图题图 4-9(b)所示,已知 $f(t)=Sa(\pi t),s(t)=\cos(20t)$,求 $y(t)$。(考察:5. 调制定理,7. 滤波器
      0ywz4.jpg
      图中×意思是直接乘,所以 $f_A(t)=f(t)\cdot s(t)=Sa(\pi t)\cos(20t)$,经过带通滤波器后,$F_A$ 会和滤波器相乘,即 $Y(\omega)=F_A(\omega)H(\omega)$
      因为 $Sa(\pi t)\leftrightarrow g_{2\pi}(\omega)$(这一步是带入取样函数得傅里叶变换公式,其中 $A=\frac 1 {2\pi},\tau=2\pi$),所以由调制定理 $f(t)\cos \omega_0t\leftrightarrow {1\over 2}[F(\omega+\omega_0)+F(\omega-\omega_0)]$ 得:
      $f_A(t)\leftrightarrow \frac12[g_{2\pi}(\omega+20)+g_{2\pi}(\omega-20)]=F_A(\omega)$
      所以:
      $Y(\omega)=F_A(\omega)H(\omega)=\frac12[g_{2\pi}(\omega+20)+g_{2\pi}(\omega-20)]\cdot H(\omega)=\frac12[g_{4}(\omega+20)+g_{4}(\omega-20)]$
      再由调制定理 $f(t)\cos \omega_0t\leftrightarrow {1\over 2}[F(\omega+\omega_0)+F(\omega-\omega_0)]$ 得:
      $上式\leftrightarrow \frac2\pi Sa(2t)\cos(20t)$(这一步是通过反着用抽样函数的傅里叶级数公式:$A\tau Sa(\frac{\tau t}2)\leftrightarrow 2\pi Ag_\tau(\omega)$,其中 $\tau=4,A=\frac1{2\pi}$)
      因此 $y(t)=\frac2\pi Sa(2t)\cos(20t)$。

第 5 章 连续时间系统的复频域分析

  1. 拉氏变换性质: 时移性
    记 $s=\sigma+\mathrm j\omega$ 为复频率,则
    双边拉普拉斯正变换:$F(s)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st}\mathrm dt$
    双边拉普拉斯反变换:$f(t)={1\over 2\pi \mathrm j}\int_{\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty} F(s)e^{st}\mathrm ds$(只讨论单边)
    单边拉普拉斯变换:$\mathcal L[f(t)]=F(s)=\int _{0^-}^\infty f(t)e^{-st}\mathrm dt$
    单边拉普拉斯反变换:$\mathcal L^{-1}[F(s)]=f(t)={1\over 2\pi \mathrm j}\int_{\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty} F(s)e^{st}\mathrm ds$
    常用函数的拉普拉斯变换:

    • 指数信号 $e^{-\alpha t}u(t)\leftrightarrow {1\over s+\alpha}$
    • 单位阶跃信号 $u(t)\leftrightarrow {1\over s}$
    • 冲激函数 $\delta (t)\leftrightarrow 1$
    • $tu(t)\leftrightarrow {1\over s^2}$
    • $\sin\omega_0tu(t)\leftrightarrow {\omega_0\over s^2+\omega_0^2}$
    • $\cos\omega_0tu(t)\leftrightarrow {s\over s^2+\omega_0^2}$
    • $e^{-\alpha t}\sin\omega_0tu(t)\leftrightarrow {\omega_0\over (s+\alpha)^2+\omega_0^2}$
    • $e^{-\alpha t}\cos\omega_0tu(t)\leftrightarrow {s+\alpha \over (s+\alpha)^2+\omega_0^2}$
    • $\mathcal L[f(t)\cos {\omega _0}t] = \frac{1}{2}[F(s + j{\omega _0}) + F(s - j{\omega _0})]$
    • $\mathcal L[f(t)\sin {\omega _0}t] = \frac{1}{2j}[F(s - j{\omega _0}) - F(s + j{\omega _0})]$

    拉普拉斯变换的性质:

    • 线性:若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(s),f_2(t)\leftrightarrow F_2(s)$ ,对于任意常数 $a_1,a_2$ ,有 $a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\leftrightarrow a_1F_1(s)+a_2F_2(s)$
    • 时移性:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,有 $f(t-t_0)u(t-t_0)\leftrightarrow e^{-s t_0}F(s)(t_0>0)$
      周期信号的拉氏变换等于他第一个周期波形的拉氏变换 $F_1(s)$ 乘以因子 $\frac{1}{1-e^{ -sT }}$
    • 比例性:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则 $f(at)\leftrightarrow {1\over a}F(\frac{s}{a}),(a>0)$
    • 频移性:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则:$ f(t)e^{\pm s_0 t}\leftrightarrow F(s\mp s_0) $,这里 $s_0$ 可以是实数,也可以是虚数或者复数
    • 时域微分:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则 ${\mathrm df(t)\over \mathrm dt}\leftrightarrow sF(s)-f(0^-)$,${\mathrm d^nf(t)\over \mathrm dt^n}\leftrightarrow s^nF(s)-s^{n-1}f(0^-)\cdots-f^{(n-1)}(0^-)$(主要用于研究具有初始条件的微分方程)
    • 时域积分:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则 $\int_{0-}^t f(\lambda)d\lambda \leftrightarrow {F(s)\over s},\int_{-\infty}^t f(\lambda)d\lambda \leftrightarrow {F(s)\over s}+{f^{(-1)}(0^-)\over s}$
    • 复频域微分:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则 $tf(t)=-\frac{\mathrm dF(s)}{\mathrm ds}$
    • 时域卷积定理:${f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(s)\cdot F_2(s)} $
    • 复频域卷积定理:$ {f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow {1\over 2\pi}F_1(s)* F_2(s)} $
  2. 初值定理、终值定理
    初值定理:设 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,且 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}sF(s)$ 存在,则 $f(0^+)=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}f(t)=\lim\limits_{s\rightarrow \infty}sF(s)$
    注:当 $F(s)$ 不是真分式时,先用长除法将其化成一个多项式和一个真分式之和,然后对真分式用初值定理
    终值定理:设 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,且 $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)$ 存在,则 $f(t)$ 的终值 $f(\infty)=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)=\lim\limits_{s\rightarrow 0}sF(s)$
    注: $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)$ 存在相当于 $F(s)$ 的极点都在 $S$ 平面的左半平面,并且如果在虚轴上有极点的话, 只能在原点处有单极点。

  3. 拉氏反变换 配方法

    • $F(s)={N(s)\over D(s)}$,首先用长除法将 $F(s)$ 化成多项式与真分式之和,多项式的部分直接是冲激函数及其导数(例如$3s-5\leftrightarrow 3\delta’(t)-5\delta(t)$)

    • 对于真分式:

      1. $D(s)=0$ 的根都是实根且无重根,则 $F(s)={k_1\over s-s_1}+{k_2\over s-s_2}+\cdots+{k_n\over s-s_n}$,通过遮挡法求出 $k_i$ ,此时 $\mathcal L^{-1}[F(s)]=[k_1e^{s_1t}+k_2e^{s_2t}+\cdots+k_ne^{s_nt}]u(t)$
      2. $D(s)=0$ 的根有复根且无重根,则将含有复根的项单独提出,剩下的按照1的方法做,然后通过对应项系数相等的方法求出含有复根的系数,之后用配方法做反变换。
      3. $D(s)=0$ 的根有重根,则将含有重根的项单独列出来写成 $p$ 个(假设有一个 $p$ 重根 $s_1$),即 $F(s)={k_{1p}\over (s-s_1)^p}+{k_{1(p-1)}\over (s-s_1)^{p-1}}+\cdots+{k_{11}\over (s-s_1)}+{N_1(s)\over D_1(s)}$ ,然后通过对应项系数相等法或公式法(两边同乘 $(s-s_1)^p$)求出$k_{ij}$,然后 $\mathcal L^{-1}[{k_{1i}\over (s-s_1)^i}]={k_{1i}\over (i-1)!}t^{i-1}e^{s_1t}$
    • 配方法:

      目标是为含有复根的 $D(s)$ 找到原函数,形如 $Ds+E\over As^2+Bs+C$ 可以配方为:$\frac{D(s-\frac B{2A})+k\sqrt{C-\frac{B^2}{4A}}}{A(s-\frac B{2A})^2+\left(\sqrt{C-\frac{B^2}{4A}}\right)^2}$ ,然后前半部分可以通过 $\cos\omega_0tu(t)\leftrightarrow {s\over s^2+\omega_0^2}$ 逆变换,后半部分可以通过 $\sin\omega_0tu(t)\leftrightarrow {\omega_0\over s^2+\omega_0^2}$ 逆变换。

  4. 连续系统的稳定性, 极点和稳定性的对应关系

    • 判断系统的稳定性

      • 稳定系统:$H(s)$ 的所有极点均位于 $s$ 左半平面。
      • 临界稳定系统:$H(s)$ 在虚轴上(包括原点)有一阶极点,其余的所有极点均位于 $s$ 左半平面。
      • 不稳定系统:$H(s)$ 有位于 $s$ 右半平面的极点,或在虚轴上(包括原点)有二阶以上的极点。
    • 系统函数的零、极点图

      $H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = {H_0}\frac{\prod\limits_{j = 1}^m {(s - {z_j})} }{\prod\limits_{k = 1}^n {(s - {p_k})} }$,其中 ${H_0} = \frac{b_m}{a_n}$ 为常数,$z_j$ 称为系统函数的零点,$p_k$ 称为系统函数的极点。
      在图中,横坐标是 $\sigma$(也就是有理数部分),纵坐标是 $j\omega$(也就是无理数部分),零点用 $\circ$ 表示,极点用 $\times$ 表示,若为 $l$ 重零点或极点,则注以 $(l)$。

  5. - 系统函数结合初值定理、 终值定理

  6. 求系统函数、 冲激响应

    • 系统函数的求法

      • 已知微分方程:

        1. (一般题目中此步省略,因为会给 )设激励 $x(t)$ 为有始信号,即 $x(0^-)=x’(0^-)=x’’(0^-)=\cdots=x^{(n-1)}(0^-)=0$
        2. 对微分方程两边取拉氏变换,利用时域微分性质,有:…(也就是将 $a_iy^{(n)}(t)$ 化为 $a_i[s^nY(s)-s^{n-1}y(0^-)-\cdots-s^0y^{(n-2)}(0^-)]$,将 $b_ix^{(n)}(t)$ 化为 $b_is^{n}X(s)$)
        3. 整理成:…(将 $Y(s)$ 写到左边,其他写在右边,然后把系数除到右边去,得到 $Y(s)=Y_{zs}(s)+Y_{zi}(s)$),记 $Y_{zs}(s)=H(s)X(s)$,则 $H(s)={Y_{zs}(s)\over X(s)}$,称为系统函数
        4. 对 $Y(s)$ 进行反变换,可得全响应的时域表达式:…(先分别反变换出 $y_{zi}(t)$ 和 $y_{zs}(t)$,然后合起来)

        注意:求解出的 $y_{zi}(t)$ 以及最后结果 $y(t)$ 都不能有 $u(t)$,要写成 $(t\ge0)$(因为是零输入)

      • 已知冲激响应 $H(s)=\mathcal L[h(t)]$

      • 已知电路:将电容 $C$ 变为 $1\over sC$ 作为电容阻抗,然后与 $Y_{zs}(s)$ 和 $X(s)$ 两端的等效电阻做比

    • - 冲激响应

  7. 例题

    • 习题 5-1 求下列信号的拉氏变换。(2)$e^{-2t}u(t-1)$
      $\mathcal L[e^{-2t}u(t-1)]=\mathcal L[e^{-2}e^{-2(t-1)}u(t-1)]=e^{-2}\cdot \frac{1}{s+2}\cdot e^{-s}={e^{-(s+2)}\over s+2}$

    • 习题 5-21 已知微分方程如下,画出其直接模拟图。

      • (1)$y’’(t)+2y’(t)+3y(t)=x’(t)+2x(t)$
        假设一个新的二阶系统,其微分方程为 $q’’(t)+2q’(t)+3q(t)=x(t)\Rightarrow q’’(t)=x(t)-2q’(t)-3q(t)$
        根据线性时不变系统的特性,有:
        $$
        [q’(t)]’’+2[q’(t)]’+3[q(t)]=x’(t)\
        [2q(t)]’’+2[2q(t)]’+3[2q(t)]=2x(t)\
        $$
        将以上两式相加,并且与原方程对比,得:
        $y(t)=q’(t)+2q(t)$
        则系统的模拟图为:

        0y61t.png

      • (2)$y’’’(t)+4y’’(t)+y’(t)+3y(t)=x’’(t)+2x’(t)+5x(t)$

        没答案做个屁,反正一样的~

    • 习题 5-15 已知系统函数 $H(s)={s^2+4s+5\over s^2+3s+2}$,输入 $x(t)=e^{-3t}u(t)$,初始状态 $y(0^-)=1,y’(0^-)=1$,求零输入响应和零状态响应。
      由系统函数可知系统的微分方程为:$y’’+3y’’+2y=x’’+4x’+5x$
      $X(s)=\mathcal L[x(t)]=\frac 1 {s+3}$,则 $Y_{zs}(s)=H(s)X(s)={s^2+4s+5\over s^2+3s+2}\cdot \frac 1 {s+3}={A\over s+1}+{B\over s+2}+{C\over s+3}$,解得:$A=1,B=-1,C=1$,故 $Y_{zs}(s)={1\over s+1}-{1\over s+2}+{1\over s+3}$,则 $y_{zs}(t)=(e^{-t}-e^{-2t}+e^{3t})u(t)$
      $Y_{zi}(s)={[y(0^-)s+y’(0^-)]+4y(0^-)\over s^2+3s+2}={s+5\over s^2+3s+2}={D\over s+2}+{E\over s+3}$,解得:$D=3,E=-2$,故 $Y_{zi}(s)={3\over s+2}-{2\over s+3}$,则 $y_{zi}(t)=3e^{-2t}-2e^{-3t}(t\ge 0)$。
      零输入响应为:$y_{zi}(t)=3e^{-2t}-2e^{-3t}(t\ge 0)$,零状态响应为:$y_{zs}(t)=(e^{-t}-e^{-2t}+e^{3t})u(t)$

第 6 章 离散时间信号与系统的变换域分析

  1. 初值定理
    $Z$ 变换:$F(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}$
    常见信号的 $Z$ 变换:

    • 单位脉冲序列 $\delta(k)$:$\mathcal Z[\delta(k)]=1$
    • 单位阶跃序列 $u(k)$:$\mathcal Z[u(k)]={z\over z-1}$
    • 指数序列 $a^ku(k)$:$\mathcal Z[a^ku(k)]={z\over z-a}$
    • 单边正弦序列$\sin\Omega_0ku(k)$:$\sin\Omega_0ku(k)\leftrightarrow {z\sin\Omega_0\over z^2-2z\cos\Omega_0+1}$
    • 单边余弦序列$\cos\Omega_0ku(k)$:$\cos\Omega_0ku(k)\leftrightarrow {z(z-\cos\Omega_0)\over z^2-2z\cos\Omega_0+1}$

    初值定理:若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$,且 $\lim\limits_{z\rightarrow \infty}F(z)$ 存在,则 $f(k)$ 的初值 $f(0)=\lim\limits_{z\rightarrow \infty}F(z)$

    终值定理:若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$,且 $f(k)$ 的终值 $f(\infty)$ 存在,则 $f(\infty)=\lim\limits_{z\rightarrow 1}(z-1)F(z)$ ,条件:$f (k)$ 的终值存在(意味着 $F (z)$ 除了在 $z=1$ 处允许有一个一阶极点外,其余极点必须在单位圆内部)

  2. $\mathrm Z$ 变换性质: 时移性

    • 线性:若 $\mathcal Z\left[ f_1(k) \right] = {F_1}(z)$,$\mathcal Z\left[ f_2(k) \right] = {F_2}(z)$,则 $\mathcal Z\left[ {a_1f_1(k) + a_2f_2(k)} \right] = {a_1}{F_1}(z) + {a_2}{F_2}(z)$
    • 移序(移位)性:若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$,则 $f(k+1)\leftrightarrow zF(z)-zf(0),f(k-1)\leftrightarrow z^{-1}F(z)+f(-1)$,推广:$Z\left[ {f(k - m)} \right] = {z^{ - m}}\left[ {F(z) + \sum\limits_{k = 1}^m {f( - k){z^k}} } \right]$ 当 $f( - 1) = f( - 2) = \cdots = f( - m) = 0$ 时,$\mathcal Z\left[ {f(k - m)} \right] = {z^{ - m}}F(z)$,即 $\mathcal Z\left[ {f(k - m)\varepsilon (k - m)} \right] = {z^{ - m}}F(z)$
    • 比例性(尺度变换 / 指数加权性质): $a^kf(k)\leftrightarrow F({z\over a})$
    • $Z$ 域微分:若 $\mathcal Z\left[ {f(k)} \right] = F(z)$,则 $\mathcal Z\left[ {kf(k)} \right] = - z\frac{dF\left( z \right)}{dz}$,推广:$\mathcal Z\left[ {k^m f(k)} \right] = {\left[ { - z\frac{d}{dz}} \right]^m}F\left( z \right)$
    • $Z$ 域卷积定理:若 $\mathcal Z\left[ f_1(k) \right] = {F_1}(z),\mathcal Z\left[ f_2(k) \right] = {F_2}(z)$,则 $\mathcal Z\left[ {f_1(k)*f_2(k)} \right] = {F_1}(z){F_2}(z)$
    • 序列求和:$\sum\limits_{n=0}^{k}f(n)\leftrightarrow {z\over z-1}F(z)$
  3. 离散系统稳定性取决于系统函数的极点

    • S 平面与 Z 平面的映射关系
      • $s = \sigma + j\omega \overset{映射}\longrightarrow z = {e^{sT}} = {e^{\sigma T}} \cdot {e^{j\omega T}}$
      • (纵轴)$\sigma = 0 \overset{映射}\longrightarrow \left| z \right| = 1;$(单位圆)
      • (原点)$s = 0 \overset{映射}\longrightarrow z = 1$(单位圆上一点)
      • (左半平面)$\sigma < 0 \overset{映射}\longrightarrow \left| z \right| < 1$(单位圆内)
    • 零、极点图:
      $H(z) = \frac{b_m z^m + \cdots + {b_1}z + {b_0}}{a_n z^n + \cdots + {a_1}z + {a_0}} = {H_0}\frac{\prod\limits_{r = 1}^m {(z - {z_r})} }{\prod\limits_{i = 1}^n {(z - {p_i})} }$,其中标量系数 ${H_0} = \frac{b_m}{a_n}$ 为常数,$z_j$ 为零点,$p_k$ 为极点。
    • 离散系统的稳定性与 $H(z)$ 极点分布之间的关系为
      • 当离散系统函数 $H(z)$ 的极点全部位于 $Z$ 平面单位圆内部时,系统是(BIBO) 稳定系统
      • 当极点位于单位圆上,且为单极点时,系统是临界稳定的
      • 否则系统是不稳定
  4. 求离散系统的单位函数响应、 零状态响应

    • 单位函数响应 $h(k)$

      因为 ${H(z)\over z}=\cdots$(跟拉氏变换一样裂开),所以 $h(k)=\cdots u(k)$。

    • 零状态响应

      $Y_{zs}(z)=X(z)H(z)$,与连续系统不同的是,导数变成了时间先后($y’(t)$ 变为 $y(1)$,$y(t)$ 变为 $y(0)$)

    • 全响应

      1. 当已知零输入初始条件时,分别求解零输入响应和零状态响应,然后叠加求得全响应
      2. 当已知全响应初始条件时,直接对差分方程取 Z 变换,求解全响应
      3. 当已知全响应初始条件,并且需要分出零输入响应和零状态响应时:
         一般先求解零状态响应,得到零状态响应的初始值;再用全响应初始条件减去零状态响应的初始值,即得零输入初始条件;继而求得零输入响应;然后叠加求得全响应
         也可以先求解全响应和零状态响应(或零输入响应),相减得零输入响应(或零状态响应) 
  5. 画 $\mathrm Z$ 域的直接模拟图

    • 一般系统的模拟

      0yjLg.jpg

      步骤:(以 $y(t) + {a_1}y’(t) + {a_0}y(t) = {b_1}x’(t) + {b_0}x(t)$ 为例)

      • 假设一个新的 $n$ 阶系统,其微分方程为:…(此处将 $y^{(n)}(t)$ 替换为 $q^{(n)}(t)$,右边整个直接替换为 $x(t)$,比如 $q(t) + {a_1}q’(t) + {a_0}q(t) = x(t)$ 这样)
      • 根据线性时不变系统的特性,有:…(此处根据右边 $x^{(n)}(t)$ 的系数,写出 $n+1$ 个式子,每个式子右边写 $b_n x^{(n)}(t)$ ,左边按照上面写出来的微分方程把 $q(t)$ 全部替换为 $b_nq^{(n)}(t)$,比如 $[{b_0}q(t)] + {a_1}[{b_0}q(t)]’ + {a_0}[{b_0}q(t)] = {b_0}x(t)$ 和 $[{b_1}q’(t)] + {a_1}[{b_1}q’(t)]’ + {a_0}[{b_1}q’(t)] = {b_1}x’(t)$ 这样)
      • 将以上 x 式相加,并且与原方程对比,得:$y(t)=\cdots$(含 $q^{(n)}(t)$ 的式子,比如 $y(t) = {b_1}q’(t) + {b_0}q(t)$ 这样)
      • 画系统模拟图,比如下面这样:
        0yvz1.jpg
    • 线性系统的复频域模拟

      • 将时域模拟图中的积分器符号改为 $s^{-1}$ 即可。
    • Z 域模拟图

      • 将时域模拟图中的积分器符号改为 $z^{-1}$ 即可。
      • 一般会设辅助函数为 $Q(z)$。
  6. 例题

    • 习题 6-2 用定义求下列序列的 Z 变换(1)$(\frac 1 2)^ku(k)$

      $\mathcal Z[(\frac 1 2)^ku(k)]=\frac{z}{z-\frac12}$

    • 习题 6-12 某离散时间系统的系统函数 $H(z)=\frac{z+3}{z^2+3z+2}$,求该系统单位函数响应 $h(k)$ 和描述系统的差分方程。

      因为 $\frac{H(z)}z=\frac{z+3}{z^2+3z+2}\cdot \frac1z=\frac Az+\frac B {z+1}+\frac C{z+2}=\frac {3\over2} z - \frac 2 {z+1}+\frac {1\over 2}{z+2}$,所以 $h(k)=\frac32\delta(k)+[-2(-1)^k+\frac12(-2)^k]u(k)$。

      系统的差分方程为:$y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=x(k+1)+3x(k)$。

    • 习题 6-14 已知离散时间系统的系统函数 $H(z)$ 的零极点图分布如图所示,且 $\lim_{k\rightarrow \infty}h(k)=\frac 1 3$,系统的初始条件 $y_{zi}(0)=2,y_{zi}(1)=1$。

      1. 求 $H(z)$。

        $H(z)=H_0\frac{z}{(z+\frac 12)(z-1)}$。因为 $\lim_{k\rightarrow \infty}h(k)=\frac13=h(\infty)$,由终值定理可知:$h(\infty)=\lim\limits_{z\rightarrow 1}(z-1)H(z)=\frac13$,解得:$H_0=\frac12$

        故 $H(z)=\frac{\frac12 z}{(z+\frac 12)(z-1)}$

      2. 求零输入响应 $y_{zi}(k)$。

        由 $H(z)$ 可写出系统的差分方程为:$y(k+2)-\frac12y(k+1)-\frac12y(k)=\frac12x(k+1)$

        对齐次方程 $y(k+2)-\frac12y(k+1)-\frac12y(k)=\frac12x(k+1)$ 两边分别进行 Z 变换:

        $[z^2Y_{zi}(z)-z^2y_{zi}(0)-zy_{zi}(1)]-\frac12[zY_{zi}(z)-zy_{zi}(0)]-\frac12Y_{zi}(z)=0$

        所以 $Y_{zi}(z)=\frac{(z^2-\frac12z)y_{zi}(0)+zy_{zi}(1)}{z^2-\frac12z-\frac12}$,将 $y_{zi}(0)=2,y_{zi}(1)=1$ 代入得:$Y_{zi}(z)=\frac{2z^2}{z^2-\frac12z-\frac12}$

        因为 $\frac{Y_{zi}(z)}{z}=\frac{2z}{(z+\frac12)(z-1)}=\frac A{z-1}+\frac B{z+\frac12}=\frac{\frac43}{z-1}+\frac{\frac23}{z+\frac12}$

        所以 $y_{zi}(k)=\frac43+\frac23(-\frac12)^k,k\ge0$

      3. 若 $x(k)=(-3)^ku(k)$,求零状态响应 $y_{zs}(k)$。

        因为 $x(k)=(-3)^ku(k)$,所以 $X(z)=\frac{z}{z+3}$,

        故 $Y_{zs}(z)=H(z)X(z)=\frac{\frac12 z}{(z+\frac 12)(z-1)}\cdot \frac{z}{z+3}$,

        因此 $\frac{Y_{zs}(z)}{z}=\frac{\frac12 z}{(z+\frac 12)(z-1)(z+3)}=\frac A{z-1}+\frac B{z+\frac 12}+\frac C{z+3}=\frac {\frac 1 {12}}{z-1}+\frac {\frac 1 {15}}{z+\frac 12}-\frac {\frac 3 {20}}{z+3}$

        故 $y_{zs}(z)=[\frac{1}{12}+\frac{1}{15}(-\frac{1}2)^k-\frac{3}{20}(-3)^k]u(k)$

    • 习题 6-16 离散时间系统的系统函数 $H(z)$ 如下,试确定系统是否稳定(1)$H(z)=\frac{z^3+1}{z(z^2+2z+\frac34)}$

      $H(z)$ 的极点为 $z=0,z=-\frac32,z=-\frac 12$

      因为极点 $z=-\frac 32$ 位于单位圆外,所以系统是不稳定的。